Was sind rationale Zahlen? Ältere Studenten und Studenten mathematischer Fachgebiete werden diese Frage wahrscheinlich beantworten. Aber diejenigen, die weit davon entfernt sind, werden schwieriger sein. Wie ist es wirklich?

Die Essenz und Bezeichnung

Durch rationale Zahlen,das kann als ein einfacher Bruchteil dargestellt werden. Positive, negative und auch Null gehen in diese Menge ein. Der Zähler des Bruches muss eine ganze Zahl sein und der Nenner muss eine natürliche Zahl sein.

Diese Menge in Mathematik wird als Q und bezeichnetwird das "Feld der rationalen Zahlen" genannt. Dazu gehören alle ganzen und natürlich, bezeichnet als Z und N. Der gleiche Satz von Q in dem Satz R. enthalten Es dieser Brief vertreten ist die sogenannte reale oder reelle Zahlen.

Einleitung

Was sind rationale Zahlen?

Wie bereits erwähnt, sind rationale Zahlenset, die alle Ganzzahl- und Bruchwerte enthält. Sie können in verschiedenen Formen präsentiert werden. Erstens, in Form gewöhnlicher Brüche: 5/7, 1/5, 11/15 etc. Natürlich können ganze Zahlen auch in ähnlicher Form geschrieben werden: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, usw. Zweitens ist eine andere Art der Darstellung eine Dezimalfraktion mit einem endlichen Bruchteil: 0,01, -15,001006 usw. Dies ist vielleicht eine der am häufigsten anzutreffenden Formen.

Aber es gibt auch einen dritten - einen periodischen Bruchteil. Diese Art ist nicht sehr verbreitet, wird aber immer noch verwendet. Zum Beispiel kann der Bruch 10/3 als 3,33333 ... oder 3, (3) geschrieben werden. In diesem Fall werden verschiedene Darstellungen als analoge Zahlen betrachtet. Äquivalente Brüche, beispielsweise 3/5 und 6/10, werden ebenfalls genannt. Es scheint, dass klar wurde, was rationale Zahlen sind. Aber warum verwenden Sie diesen Begriff für ihre Bezeichnung?

Herkunft des Namens

Das Wort "rational" im modernen Russischim allgemeinen Fall hat eine etwas andere Bedeutung. Es ist eher "vernünftig", "absichtlich". Aber mathematische Begriffe sind der direkten Bedeutung dieses geliehenen Wortes sehr ähnlich. Im Lateinischen ist "Ratio" eine "Relation", "Fraktion" oder "Division". So spiegelt der Name das Wesen dessen wieder, was rationale Zahlen sind. Allerdings der zweite Wert

rationale Zahlen sind
nicht weit von der Wahrheit.

Aktionen mit ihnen

Bei der Lösung von mathematischen Problemen, wir ständigwir treffen auf rationale Zahlen, ohne sie selbst zu kennen. Und sie haben eine Reihe von interessanten Eigenschaften. Alle folgen entweder aus der Definition der Menge oder aus Aktionen.

Erstens haben rationale Zahlen die EigenschaftBeziehungen der Ordnung. Das bedeutet, dass zwischen den beiden Zahlen nur eine Beziehung existieren kann - sie sind entweder gleich, oder eine ist größer oder kleiner als die andere. E .:

entweder a = b; entweder a> b, entweder a <b.

Darüber hinaus impliziert diese Eigenschaft auch die Transitivität der Beziehung. Das heißt, wenn a mehr als b, b mehr als cdann a mehr als c. In der Sprache der Mathematik sieht das so aus:

(a> b) ^ (b> c) => (a> c).

Zweitens gibt es arithmetische Operationen mitrationale Zahlen, also Addition, Subtraktion, Division und natürlich Multiplikation. Bei diesem Prozess können auch eine Reihe von Eigenschaften im Transformationsprozess unterschieden werden.

Aktionen mit rationalen Zahlen

  • a + b = b + a (Ortswechsel der Terme, Kommutativität);
  • 0 + a = a + 0;
  • (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativität);
  • a + (-a) = 0;
  • ab = ba;
  • (ab) c = a (bc) (Verteilbarkeit);
  • a x 1 = 1 x a = a;
  • a x (1 / a) = 1 (hier ist a nicht 0);
  • (a + b) c = ac + ab;
  • (a> b) ^ (c > 0) => (ac> bc).

Wenn es ums Gewöhnliche geht und nichtDezimalzahlen, Brüche oder ganze Zahlen, Aktionen mit ihnen können bestimmte Schwierigkeiten verursachen. Somit sind Addition und Subtraktion nur möglich, wenn die Nenner gleich sind. Wenn sie zu Beginn anders sind, sollten Sie einen gemeinsamen finden, indem Sie die Multiplikation des gesamten Bruches mit bestimmten Zahlen verwenden. Ein Vergleich ist auch meistens nur möglich, wenn diese Bedingung erfüllt ist.

Division und Multiplikation gewöhnlicher Fraktionensind in Übereinstimmung mit ziemlich einfachen Regeln gemacht. Die Reduktion auf den gemeinsamen Nenner ist nicht notwendig. Die Zähler und Nenner werden separat multipliziert, während der Vorgang, falls möglich, sollte der Bruch so weit wie möglich minimiert und vereinfacht werden.

Wie bei der Division ist diese Aktion ähnlich wie die erste mit einem kleinen Unterschied. Finde für den zweiten Bruchteil das Inverse

rationale Zahlen
"Dreh es". Daher muss der Zähler des ersten Bruchteils mit dem zweiten Nenner multipliziert werden und umgekehrt.

Schließlich eine andere Eigenschaft in rationalZahlen, heißt das Axiom von Archimedes. In der Literatur gibt es oft auch den Namen "Prinzip". Es gilt für die ganze Menge realer Zahlen, aber nicht überall. Daher gilt dieses Prinzip nicht für bestimmte Mengen rationaler Funktionen. Im Wesentlichen bedeutet dieses Axiom, dass, wenn es zwei Größen a und b gibt, Sie immer eine ausreichende Anzahl von a nehmen können, um b zu überschreiten.

Anwendungsgebiet

Also, diejenigen, die gelernt haben oder sich daran erinnern, was istRationale Zahlen, es wird deutlich, dass sie überall verwendet werden: in Buchhaltung, Wirtschaft, Statistik, Physik, Chemie und anderen Wissenschaften. Natürlich haben sie auch einen Platz in der Mathematik. Nicht immer wissend, dass wir es mit ihnen zu tun haben, benutzen wir ständig rationale Zahlen. Noch junge Kinder, die lernen, Gegenstände zu zählen, einen Apfel in Stücke zu schneiden oder andere einfache Handlungen auszuführen, stehen ihnen gegenüber. Sie umgeben uns buchstäblich. Dennoch reichen sie nicht aus, um einige Probleme zu lösen, insbesondere am Beispiel des Satzes von Pythagoras kann man die Notwendigkeit verstehen, das Konzept der irrationalen Zahlen einzuführen.

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