Ein Beispiel für ein mathematisches Modell. Definition, Klassifizierung und Funktionen
In dem von Ihnen eingereichten Artikel haben wirWir bieten Beispiele für mathematische Modelle. Darüber hinaus werden wir auf die Phasen der Modellbildung achten und einige Probleme im Zusammenhang mit mathematischen Modellen diskutieren.
Eine weitere unserer Fragen sind die mathematischen Modelle inWirtschaft, Beispiele, deren Definition wir etwas später betrachten werden. Wir schlagen vor, unser Gespräch vom Konzept des "Modells" zu beginnen, kurz ihre Klassifizierung zu besprechen und zu unseren Hauptthemen überzugehen.
Das Konzept des "Modells"
Wir hören oft das Wort "Modell". Was ist das? Dieser Begriff hat viele Definitionen, hier sind nur drei:
- Ein bestimmtes Objekt, für das erstellt wird;: Empfangen und Speichern von Informationen, die (a mentale Beschreibung verwendet Zeichen und so weiter in verschiedenen Formen ausgedrückt werden können, die spezifische Objekt) einige der Eigenschaften oder Charakteristika usw. des ursprünglichen Objekts widerspiegelt
- ein anderes Modell bedeutet die Abbildung einer bestimmten Situation, vital oder leitend;
- Modell kann als eine kleine Kopie eines Objekts dienen (sie sind für eine genauere Untersuchung und Analyse erstellt, da das Modell die Struktur und die Beziehungen widerspiegelt).
Ausgehend von allem, was vorher gesagt wurde, können Sie eine kleine Schlussfolgerung ziehen: Das Modell ermöglicht es Ihnen, ein komplexes System oder Objekt im Detail zu untersuchen.
Alle Modelle können nach einer Reihe von Merkmalen klassifiziert werden:
- auf dem Gebiet der Nutzung (pädagogisch, experimentell, wissenschaftlich und technisch, Spiel, Nachahmung);
- Dynamik (statisch und dynamisch);
- auf dem Zweig des Wissens (physisch, chemisch, geografisch, historisch, soziologisch, ökonomisch, mathematisch);
- durch die Art der Präsentation (Material und Information).
Informationsmodelle wiederum sind in Zeichen und Verbal unterteilt. Ein Meilenstein - für Computer und Nicht-Computer. Wir wenden uns nun einer detaillierten Untersuchung von Beispielen eines mathematischen Modells zu.
Mathematisches Modell
Da ist es nicht schwer zu erraten, das mathematische Modellreflektiert irgendwelche Merkmale eines Objekts oder Phänomens unter Verwendung spezieller mathematischer Symbole. Mathematik wird auch benötigt, um die Gesetze der umgebenden Welt in ihrer spezifischen Sprache zu modellieren.
Die Methode der mathematischen Modellierung wurde geborenlange genug, vor Tausenden von Jahren, zusammen mit dem Aufkommen dieser Wissenschaft. Der Anstoß für die Entwicklung dieser Methode der Modellierung war jedoch die Entstehung von Computern (elektronische Computer).
Gehen wir nun zur Klassifikation. Es kann auch aus irgendeinem Grund durchgeführt werden. Sie sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.
Klassifizierung nach Wissenschaftszweig | Anwendung von mathematischen Modellen in Physik, Soziologie, Chemie und so weiter |
Das mathematische Gerät, das im Modellierungsprozess verwendet wird | Modelle basierend auf Differentialgleichungen, diskreten algebraischen Transformationen und dergleichen |
Zu den Zwecken der Modellierung | Nach diesem Prinzip werden deskriptive, Optimierungs-, Multikriterie-, Spiel- und Simulationsmodelle unterschieden |
Wir schlagen vor, die letzte Klassifikation detaillierter zu betrachten und zu wiederholen, da sie die allgemeinen Muster der Modellierung und den Zweck der Modelle widerspiegelt, die erstellt werden.
Beschreibende Modelle
In diesem Kapitel schlagen wir vor, näher auf deskriptive mathematische Modelle einzugehen. Damit alles klar ist, wird ein Beispiel gegeben.
Diese Art kann zunächst als deskriptiv bezeichnet werden. Dies liegt daran, dass wir nur Berechnungen und Prognosen machen, aber wir können den Ausgang der Veranstaltung in keiner Weise beeinflussen.
Ein Paradebeispiel für ein deskriptives mathematisches Modellist die Berechnung der Flugbahn, Geschwindigkeit, Entfernung von der Kometenerde, die in die Weiten unseres Sonnensystems eindrang. Dieses Modell ist beschreibend, da alle erhaltenen Ergebnisse nur vor einer Gefahr warnen können. Um den Ausgang der Veranstaltung zu beeinflussen, können wir leider nicht. Basierend auf den erhaltenen Berechnungen ist es jedoch möglich, alle Maßnahmen zu ergreifen, um Leben auf der Erde zu retten.
Optimierungsmodelle
Jetzt werden wir ein wenig darüber redenökonomisch-mathematische Modelle, deren Beispiele verschiedenen Situationen dienen können. In diesem Fall sprechen wir über Modelle, die unter bestimmten Bedingungen helfen, die richtige Antwort zu finden. Sie haben notwendigerweise bestimmte Parameter. Um es deutlich zu machen, betrachten Sie ein Beispiel aus dem Agrarteil.
Wir haben einen Kornspeicher, aber das Korn verdirbt sehr schnell. In diesem Fall müssen wir das Temperaturregime richtig wählen und den Speicherprozess optimieren.
So können wir das Konzept definieren"Optimierungsmodell" Im mathematischen Sinne ist dies ein Gleichungssystem (linear und nicht), dessen Lösung hilft, die optimale Lösung in einer bestimmten wirtschaftlichen Situation zu finden. Wir haben ein Beispiel für ein mathematisches Modell (Optimierung) untersucht, aber ich möchte hinzufügen: Dieser Typ gehört zu der Klasse der extremen Probleme, sie helfen, das Funktionieren des Wirtschaftssystems zu beschreiben.
Nehmen wir eine weitere Nuance: Modelle können einen anderen Charakter haben (siehe Tabelle unten).
deterministisch | In diesem Fall hängt das Ergebnis von den Eingabedaten ab |
stochastisch | Beschreibung von zufälligen Prozessen. In diesem Fall bleibt das Ergebnis ungewiss |
Multi-Kriterien-Modelle
Jetzt schlagen wir vor, dass Sie ein wenig darüber redenmathematisches Modell der multikriteriellen Optimierung. Zuvor haben wir ein Beispiel für ein mathematisches Modell der Prozessoptimierung anhand eines beliebigen Kriteriums gegeben, aber was ist, wenn es viele gibt?
Ein anschauliches Beispiel für ein multikriterielles Problem istdie Organisation der richtigen, nützlichen und gleichzeitig wirtschaftlichen Ernährung für große Gruppen von Menschen. Mit solchen Aufgaben sind oft in der Armee, Schulkantinen, Sommerlager, Krankenhäuser und so weiter gefunden.
Welche Kriterien erhalten wir bei dieser Aufgabe?
- Mahlzeiten sollten nützlich sein.
- Die Kosten für Lebensmittel sollten minimal sein.
Wie Sie sehen können, stimmen diese Ziele nicht überein. Also, bei der Lösung des Problems ist es notwendig, nach der optimalen Lösung zu suchen, das Gleichgewicht zwischen den beiden Kriterien.
Spielmodelle
Apropos Spielemodelle, Sie müssen verstehendas Konzept der "Spieltheorie". Um es einfach auszudrücken, diese Modelle spiegeln mathematische Modelle realer Konflikte wider. Es lohnt sich nur zu verstehen, dass das mathematische Modell des Spiels im Gegensatz zu einem echten Konflikt seine eigenen Regeln hat.
Jetzt das Minimum an Informationen vonDie Theorie der Spiele, die Ihnen helfen wird zu verstehen, was ein Spielmodell ist. Und so gibt es im Modell notwendigerweise Seiten (zwei oder mehr), die normalerweise Spieler genannt werden.
Alle Modelle haben bestimmte Eigenschaften.
Themen | Anzahl der Spieler |
Die Strategie | Mögliche Aktionsoptionen |
Zahlung | Das Ergebnis des Konflikts (Gewinn oder Verlust). |
Das Spielmodell kann ein Paar oder seinmehrere. Wenn wir zwei Themen haben, dann ist der Konflikt ein Paar, wenn mehr - mehrere. Es ist auch möglich, ein antagonistisches Spiel auszusondern, es wird auch ein Nullsummenspiel genannt. Dies ist ein Modell, bei dem der Gewinn eines der Teilnehmer dem Verlust des anderen gleicht.
Simulationsmodelle
In diesem Abschnitt werden wir auf mathematische Simulationsmodelle achten. Beispiele für Aufgaben sind:
- Modell der Dynamik der Anzahl von Mikroorganismen;
- Modell der Bewegung von Molekülen und so weiter.
In diesem Fall sprechen wir über Modelle, dieso nah wie möglich an realen Prozessen. Im Großen und Ganzen imitieren sie jede Manifestation in der Natur. Im ersten Fall können wir beispielsweise die Dynamik der Anzahl der Ameisen in einer Kolonie simulieren. In diesem Fall kann man das Schicksal jedes einzelnen Individuums beobachten. In diesem Fall wird die mathematische Beschreibung selten verwendet, öfter gibt es schriftliche Bedingungen:
- in fünf Tagen legt das Weibchen Eier;
- In zwanzig Tagen stirbt die Ameise und so weiter.
Daher werden Simulationsmodelle verwendet, um ein großes System zu beschreiben. Die mathematische Schlussfolgerung ist die Verarbeitung der empfangenen statistischen Daten.
Anforderungen
Es ist sehr wichtig zu wissen, dass für diesen Modelltyp einige Anforderungen gelten, darunter die in der folgenden Tabelle aufgeführten.
Vielseitigkeit | Mit dieser Eigenschaft können Sie dasselbe verwendenModell in der Beschreibung der gleichen Art von Gruppen von Objekten. Es ist wichtig zu beachten, dass universelle mathematische Modelle völlig unabhängig von der physikalischen Natur des untersuchten Objekts sind |
Angemessenheit | Hier ist es wichtig zu verstehen, dass diese Eigenschaftermöglicht es Ihnen, echte Prozesse richtig zu reproduzieren. In den Ausbeutungsaufgaben ist diese Eigenschaft der mathematischen Modellierung sehr wichtig. Ein Beispiel für ein Modell kann der Prozess der Optimierung der Nutzung des Gassystems sein. In diesem Fall werden die berechneten und tatsächlichen Indikatoren verglichen, wodurch die Korrektheit des kompilierten Modells überprüft wird |
Genauigkeit | Diese Anforderung beinhaltet die Übereinstimmung der Werte, die wir bei der Berechnung des mathematischen Modells und der Eingabeparameter unseres realen Objekts erhalten |
Wirtschaftlich | Das Erfordernis der Rentabilität, auferlegt jedemmathematisches Modell, gekennzeichnet durch die Kosten der Implementierung. Wenn die Arbeit mit dem Modell manuell durchgeführt wird, muss berechnet werden, wie viel Zeit benötigt wird, um ein Problem mit Hilfe dieses mathematischen Modells zu lösen. Wenn wir über computergestütztes Design sprechen, berechnen wir die Zeit und den Computerspeicher |
Phasen der Modellierung
Insgesamt ist es bei der mathematischen Modellierung üblich, vier Stufen zu unterscheiden.
- Die Formulierung von Gesetzen, die Teile des Modells verbinden.
- Untersuchung von mathematischen Problemen.
- Klärung der Übereinstimmung von praktischen und theoretischen Ergebnissen.
- Analyse und Modernisierung des Modells.
Ökonomisch-mathematisches Modell
In diesem Abschnitt werden wir kurz das Thema der ökonomischen und mathematischen Modelle diskutieren. Beispiele für Aufgaben sind:
- die Bildung eines Produktionsprogramms für die Herstellung von Fleischprodukten, das den maximalen Gewinn der Produktion gewährleistet;
- Maximierung des Gewinns der Organisation durch Berechnung der optimalen Anzahl von Tischen und Stühlen in der Möbelfabrik und so weiter.
Das ökonomisch-mathematische Modell spiegelt ökonomische Abstraktion wider, die sich durch mathematische Begriffe und Zeichen ausdrückt.
Computer mathematisches Modell
Beispiele für ein mathematisches Computermodell sind:
- Aufgaben der Hydraulik mit Hilfe von Blockdiagrammen, Diagrammen, Tabellen und so weiter;
- das Problem der Mechanik eines starren Körpers und so weiter.
Ein Computermodell ist ein Bild eines Objekts oder Systems, dargestellt als:
- Tabellen;
- Flussdiagramme;
- Diagramme;
- Grafiken und so weiter.
Gleichzeitig spiegelt dieses Modell die Struktur und die Zusammenhänge des Systems wider.
Konstruktion des ökonomisch-mathematischen Modells
Wir haben bereits gesagt, was istökonomisch-mathematisches Modell. Ein Beispiel für die Lösung des Problems wird jetzt berücksichtigt. Wir müssen eine Analyse des Produktionsprogramms durchführen, um eine Reserve erhöhten Gewinns in der Verschiebung des Bereichs zu identifizieren.
Wir werden das Problem nicht vollständig in Betracht ziehen, abereinfach ein ökonomisch-mathematisches Modell aufbauen. Das Kriterium unserer Aufgabe ist die Profitmaximierung. Dann hat die Funktion die Form: A = p1 * x1 + p2 * x2 ..., maximal geneigt. In diesem Modell ist p der Gewinn pro Einheit, x ist die Anzahl der produzierten Einheiten. Basierend auf dem erstellten Modell ist es notwendig, Berechnungen durchzuführen und eine Zusammenfassung zu erstellen.
Ein Beispiel für den Aufbau eines einfachen mathematischen Modells
Die Aufgabe. Der Fischer kehrte mit folgendem Fang zurück:
- 8 Fische - Bewohner der nördlichen Meere;
- 20% der Fänge - Bewohner der südlichen Meere;
- kein Fisch wurde vom lokalen Fluss gefunden.
Wie viele Fische hat er im Laden gekauft?
Also ein Beispiel für den Aufbau eines mathematischen Modellsdieses Problem ist wie folgt. Gib die Gesamtzahl der Fische für x an. Nach der Bedingung ist 0,2x die Zahl der Fische, die die südlichen Breiten bewohnen. Jetzt kombinieren wir alle verfügbaren Informationen und erhalten ein mathematisches Modell des Problems: x = 0,2x + 8. Lösen Sie die Gleichung und erhalten Sie eine Antwort auf die Hauptfrage: Er kaufte 10 Fische im Laden.
</ p>
