Wie löst man ein lineares Gleichungssystem?

Um zu verstehen, wie das System zu lösen istGleichungen, sollten wir überlegen, was es ist. Wie aus dem Begriff selbst hervorgeht, ist ein "System" eine Sammlung mehrerer Gleichungen, die miteinander in Beziehung stehen. Es gibt Systeme von algebraischen und Differentialgleichungen. In diesem Artikel werden wir darauf achten, wie man ein Gleichungssystem des ersten Typs löst.
Definitionsgemäß heißt eine Gleichung algebraisch,

in dem nureinfache mathematische Operationen; Addition, Division, Subtraktion, Multiplikation, Potenzierung und das Finden der Wurzel. Der Algorithmus zum Lösen einer solchen Gleichung ist darauf reduziert, durch seine Transformationen eine ihm äquivalente Struktur zu finden, aber eine einfachere.
Systeme algebraischer Gleichungen werden in lineare und nichtlineare Gleichungen unterteilt.
System der linearen Gleichungen (auch weit verbreitetDie Abkürzung SLAU wird verwendet) unterscheidet sich von dem System der nichtlinearen Gleichungen darin, dass die unbekannten Variablen hier im ersten Grad sind. Allgemeine Ansicht SLAE in Matrixform wie folgt aussieht: Ax = b, wobei A - eine Vielzahl von bekannten Faktoren, x - Variablen, b - eine Vielzahl von bekannten freien Mitgliedern.

Es gibt viele Möglichkeiten, ein solches Gleichungssystem zu lösen

sind in direkte und iterative Methoden unterteilt. Direkte Methoden ermöglichen es uns, die Werte von Variablen für eine bestimmte Anzahl von mathematischen Transformationen zu finden, und iterative Algorithmen verwenden den Algorithmus der sukzessiven Approximation und Verfeinerung.

Lassen Sie uns anhand eines Beispiels analysieren, wie das lineare System zu lösen istGleichungen, mit einer direkten Methode zur Ermittlung des Wertes von Variablen. Direkte Methoden umfassen die Methoden von Gauss, Jordan-Gauss, Cramer, Sweeps und einige andere. Eine der einfachsten kann die Methode von Cramer genannt werden, normalerweise ist es bei ihm im Lehrplan beginnt Bekanntschaft mit Matrizen. Diese Methode wurde entwickelt, um quadratische SLAU zu lösen, d.h. Solche Systeme, in denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der unbekannten Variablen in einer Zeile ist. Um das Gleichungssystem mit der Cramer-Methode zu lösen, ist es außerdem notwendig, sicherzustellen, dass die freien Terme keine Nullen sind (dies ist eine notwendige Bedingung).

Der Lösungsalgorithmus ist wie folgt: eine Matrix 1, die aus den bekannten Koeffizienten des a-Systems besteht, wird konstruiert und ihre Hauptdeterminante Δχ wird gefunden. Die Determinante wird gefunden, indem das Produkt der Elemente der sekundären Diagonalen vom Produkt der Elemente subtrahiert wird

der wichtigste.

Ferner wird eine Matrix 2 zusammengestellt, in der die Werte der freien Elemente b in der ersten Spalte, ähnlich wie im vorhergehenden Beispiel, die Determinante Δχ substituiert sind₁.

Wir setzen die Matrix 3 zusammen, die Werte der freien Koeffizienten werden in der zweiten Spalte substituiert, wir finden die Determinante der Matrix Δx₂. Und so weiter, bis wir die Determinante dieser Matrix berechnen, wobei die Koeffizienten b in der letzten Spalte stehen.

Um den Wert einer bestimmten Variablen zu finden, müssen die Determinanten, die durch Substitution der freien Koeffizienten erhalten werden, in eine Hauptdeterminante geteilt werden, d.h. x₁= Δx₁/ Δx, x₂= Δx₂/ Δx und so weiter.
Wenn Sie Fragen zur Lösung des Gleichungssystems auf die eine oder andere Weise haben, empfehle ich Ihnen, auf das Referenz- und Schulungsmaterial zu verweisen, das alle grundlegenden Schritte beschreibt.

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